نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $135^{\circ}$ را به دو روش به دست آورید.
زاویهٔ $135^{\circ}$ در ربع **دوم** دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد. زاویهٔ مرجع آن $\alpha = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$ است. در ربع دوم، $\sin$ مثبت و $\cos$, $\tan$, $\cot$ منفی هستند.
## روش اول: استفاده از زاویهٔ مکمل ($180^{\circ} - \alpha$)
این روش از قرینه‌سازی نسبت به محور عمودی ($in$) استفاده می‌کند.
$$\sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$\tan 135^{\circ} = \frac{\sin 135^{\circ}}{\cos 135^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \mathbf{-1}$$
$$\cot 135^{\circ} = \frac{1}{\tan 135^{\circ}} = \frac{1}{-1} = \mathbf{-1}$$
---
## روش دوم: استفاده از زاویهٔ متمم ($90^{\circ} + \alpha$)
این روش از تبدیل نسبت‌های مثلثاتی به هم (تبدیل توابع) استفاده می‌کند.
$$\sin 135^{\circ} = \sin(90^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$\cos 135^{\circ} = \cos(90^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin 45^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$\tan 135^{\circ} = \tan(90^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cot 45^{\circ} = \mathbf{-1}$$
$$\cot 135^{\circ} = \cot(90^{\circ} + 45^{\circ}) = -\tan 45^{\circ} = \mathbf{-1}$$
